Determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
Existe tal que .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo qual é o problema. A gente precisa descobrir se existe um número real, chamado de , que faz com que a equação seja verdadeira. Isso envolve a matéria de funções exponenciais e resolução de equações. Para resolver isso, vamos precisar analisar as funções envolvidas e ver onde elas se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas partes da equação:
  1. : Essa é uma função exponencial decrescente. O valor dela diminui à medida que aumenta.
  2. : Essa é uma função linear, que cresce de forma constante conforme aumenta.
Nosso objetivo é encontrar um valor de onde essas duas funções se cruzam, ou seja, onde os valores delas são iguais.

Passo 3

Para facilitar, vamos definir uma função que representa a diferença entre as duas funções da equação:
Queremos encontrar tal que .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de em alguns pontos para ver onde pode cruzar zero:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Vemos que é positivo em e , mas negativo em . Isso indica que a função cruza o eixo entre e .

Passo 5

Para confirmar que existe uma solução, usamos o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela passa por zero nesse intervalo. Como muda de positivo para negativo entre e , devemos ter pelo menos um nesse intervalo que satisfaz .

Passo 6

Portanto, concluímos que existe pelo menos um valor real tal que .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Existe pelo menos um número real que satisfaz a equação .

Exercícios relacionados

Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(e) .
Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais abaixo quanto a convergência
(a)
Calcule a derivada da função
.