Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral abaixo quanto a convergência:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . A questão pede para a gente verificar se essa integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Para isso, vamos usar métodos de integração e testes de comparação, que são técnicas da matéria de Cálculo Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função . A cotangente é definida como o cosseno dividido pelo seno:
Sabemos que tende a 0 quando se aproxima de 0, o que pode causar problemas na integral, já que estamos integrando de 0 até .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função perto de 0. Para valores pequenos de , usamos as aproximações:
Assim,
Isso nos indica que, perto de 0, se comporta como .

Passo 4

Agora, vamos considerar a integral comparativa . Sabemos que essa integral é do tipo , e avaliando de 0 a , temos:
Isso significa que diverge, ou seja, vai para infinito.

Passo 5

Usando o Teste da Comparação Direta, comparamos com para próximo de 0:
Já que diverge e é maior ou igual a perto de 0, podemos concluir que:

Resposta

A integral não converge, ou seja, ela diverge para infinito.

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites
a)
Calcule a derivada da função
.
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto .
Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.