Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral abaixo quanto a convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
. A questão pede para a gente verificar se essa integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Para isso, vamos usar métodos de integração e testes de comparação, que são técnicas da matéria de Cálculo Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função
. A cotangente é definida como o cosseno dividido pelo seno:
Sabemos que
tende a 0 quando
se aproxima de 0, o que pode causar problemas na integral, já que estamos integrando de 0 até
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função
perto de 0. Para valores pequenos de
, usamos as aproximações:
Assim,
Isso nos indica que, perto de 0,
se comporta como
.
Passo 4
Agora, vamos considerar a integral comparativa
. Sabemos que essa integral é do tipo
, e avaliando de 0 a
, temos:
Isso significa que
diverge, ou seja, vai para infinito.
Passo 5
Usando o Teste da Comparação Direta, comparamos
com
para
próximo de 0:
Já que
diverge e
é maior ou igual a
perto de 0, podemos concluir que:
Resposta
A integral
não converge, ou seja, ela diverge para infinito.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites
a)
a)
Calcule a derivada da função
.
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.