Calcule os seguintes limites
a)

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular o limite:
Aqui, estamos interessados no comportamento da expressão quando se aproxima de 1 pela direita. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e aproximações de funções próximas ao ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Note que pode ser reescrito como . Assim, a expressão fica:

Passo 3

Observando que está se aproximando de 1, podemos realizar uma substituição para facilitar os cálculos. Vamos definir , onde quando . Assim, temos:
Substituindo na expressão original:

Passo 4

Para simplificar quando é pequeno, podemos usar a série de Taylor:
Portanto:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a primeira fração:
Usando a expansão da série geométrica para quando é pequeno:
Então:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:

Resposta

O limite é .

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.
Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais abaixo quanto a convergência
(a)
Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral abaixo quanto a convergência:
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto .