Calcule os seguintes limites
a)
a)
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos calcular o limite:
Aqui, estamos interessados no comportamento da expressão quando
se aproxima de 1 pela direita. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e aproximações de funções próximas ao ponto de interesse.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Note que
pode ser reescrito como
. Assim, a expressão fica:
Passo 3
Observando que
está se aproximando de 1, podemos realizar uma substituição para facilitar os cálculos. Vamos definir
, onde
quando
. Assim, temos:
Substituindo na expressão original:
Passo 4
Para simplificar
quando
é pequeno, podemos usar a série de Taylor:
Portanto:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a primeira fração:
Usando a expansão da série geométrica para
quando
é pequeno:
Então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão original:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função
.
Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais abaixo quanto a convergência
(a)
(a)
Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral abaixo quanto a convergência:
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto
.