Calcule a derivada da função inversa f^-1 no punto y0, sabendo que y0 = f(x0), f^-1(y0) = 3, f'(3) = -2, f(3) = 5, f'(5) = 3.
(a) x0/y0
(b) 1/3
© -1/2
(d) 1/y0
(e) 1/5.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a derivada da função inversa no ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar a derivada da função original com a derivada da sua inversa .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona as derivadas de funções inversas. Se e , então a derivada da função inversa é dada por:
onde . Isso significa que para encontrar a derivada da função inversa no ponto , precisamos conhecer no ponto onde .

Passo 3

Vamos usar as informações fornecidas na questão. Sabemos que:
Isso significa que . Portanto, .

Passo 4

Aplicando a fórmula da derivada da função inversa:

Resposta

A derivada da função inversa no ponto é .
Opção ©

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(a) L=0;
(b) L=-infty;
© L=+infty;
(d) o limite não existe;
(e) L=1.
Seja A_n, n pertence aos naturais, uma família de afirmações. Assuma que A_5 seja verdadeira, e que se A_n é verdadeira, então A_{n+2} também é verdadeira. Qual das seguintes afirmações abaixo é verdadeira?
(a) a afirmação A3 é verdadeira;
(b) A_{2n+1} é verdadeira para todo n ≥ 2;
© a afirmação A_{22} é verdadeira;
(d) todas as afirmações A_n são verdadeiras;
(e) as afirmações A_n, com n ≥ 5 são verdadeiras.
Calcule a soma sumk=1^N 3 k.
(a) 23 N(N+1);
(b) 2 N(N+1);
© 32 N(N-1);
(d) 3 N(N+1);
(e) 32 N(N+1).
Calcule a derivada da função f(x) = sen^2(x).
(a) f'(x) = -2 sen(x) cos(x)
(b) f' (x) = -sen x cos x
© f'(x) = cos²(x);
(d) f'(x) = sen(x) cos(x);
(e) f'(x) = 2 sen(x) cos(x).