Seja A_n, n pertence aos naturais, uma família de afirmações. Assuma que A_5 seja verdadeira, e que se A_n é verdadeira, então A_{n+2} também é verdadeira. Qual das seguintes afirmações abaixo é verdadeira?
(a) a afirmação A3 é verdadeira;
(b) A_{2n+1} é verdadeira para todo n ≥ 2;
© a afirmação A_{22} é verdadeira;
(d) todas as afirmações A_n são verdadeiras;
(e) as afirmações A_n, com n ≥ 5 são verdadeiras.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma família de afirmações, chamadas A_n, onde n é um número natural. Sabemos que a afirmação A_5 é verdadeira. Além disso, se qualquer afirmação A_n for verdadeira, então a afirmação A_{n+2} também será verdadeira. Nosso objetivo é descobrir qual das opções (a) a (e) está correta com base nessas informações. Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica usada para provar afirmações que dependem de um número natural.

Passo 2

Primeiro, sabemos que A_5 é verdadeira. Isso será o nosso ponto de partida. Como temos a regra de que se A_n é verdadeira, então A_{n+2} também é, podemos usar isso para encontrar outras afirmações que também são verdadeiras começando a partir de .

Passo 3

Vamos aplicar a regra para encontrar quais afirmações são verdadeiras:
  • Passo 3.1: Sabemos que A_5 é verdadeira.
  • Passo 3.2: Aplicando a regra com , temos que é verdadeira.
  • Passo 3.3: Agora, com , é verdadeira.
  • Passo 3.4: Continuando assim, veremos que , , , e assim por diante, também são verdadeiras.

Passo 4

Observamos que, a partir de A_5, todas as afirmações com índices ímpares maiores ou iguais a 5 são verdadeiras. Isso significa que A_5, , , etc., são todas verdadeiras.

Passo 5

Agora, vamos analisar cada uma das opções para ver qual delas está correta com base no que descobrimos:
  • Opção (a): A afirmação A3 é verdadeira.
    Análise: Não temos informação sobre A3. Nosso ponto de partida foi A_5, e a regra apenas nos permite avançar para afirmações de índices maiores. Portanto, não podemos afirmar que A3 é verdadeira.
  • Opção (b): é verdadeira para todo n ≥ 2.
    Análise: Vamos verificar para n ≥ 2:
    • Para n = 2: A_5 é verdadeira.
    • Para n = 3: é verdadeira.
    • E assim por diante…
    Isso confirma que é verdadeira para todo n ≥ 2.
  • Opção ©: A afirmação A_{22} é verdadeira.
    Análise: Nosso processo gera somente afirmações com índices ímpares a partir de 5 (5, 7, 9, …). Como 22 é um número par, não temos garantia de que A_{22} seja verdadeira.
  • Opção (d): Todas as afirmações A_n são verdadeiras.
    Análise: Apenas as afirmações com índices ímpares a partir de 5 são garantidamente verdadeiras. Não podemos afirmar que todas as afirmações são verdadeiras.
  • Opção (e): As afirmações A_n, com n ≥ 5 são verdadeiras.
    Análise: Novamente, apenas as afirmações com índices ímpares a partir de 5 são verdadeiras. As afirmações com índices pares a partir de 6, por exemplo, não são garantidas como verdadeiras.

Resposta

A opção (b) A_{2n+1} é verdadeira para todo n ≥ 2 é verdadeira.

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