Seja
, uma família de afirmações. Assuma que
seja verdadeira, e que se
é verdadeira, então
também é verdadeira. Qual das seguintes afirmações abaixo é verdadeira?
(a) a afirmação
é verdadeira;
(b)
é verdadeira para todo
;
© a afirmação
é verdadeira;
(d) todas as afirmações
são verdadeiras;
(e) as afirmações
, com
são verdadeiras.
(a) a afirmação
(b)
© a afirmação
(d) todas as afirmações
(e) as afirmações
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma família de afirmações, chamadas
, onde
é um número natural. Sabemos que a afirmação
é verdadeira. Além disso, se qualquer afirmação
for verdadeira, então a afirmação
também será verdadeira. Nosso objetivo é descobrir qual das opções (a) a (e) está correta com base nessas informações. Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica usada para provar afirmações que dependem de um número natural.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
é verdadeira. Isso será o nosso ponto de partida. Como temos a regra de que se
é verdadeira, então
também é, podemos usar isso para encontrar outras afirmações que também são verdadeiras começando a partir de
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra para encontrar quais afirmações são verdadeiras:
- Passo 3.1: Sabemos que
é verdadeira. - Passo 3.2: Aplicando a regra com
, temos que é verdadeira. - Passo 3.3: Agora, com
, é verdadeira. - Passo 3.4: Continuando assim, veremos que
, , , e assim por diante, também são verdadeiras.
Passo 4
Observamos que, a partir de
, todas as afirmações com índices ímpares maiores ou iguais a 5 são verdadeiras. Isso significa que
,
,
, etc., são todas verdadeiras.
Passo 5
Agora, vamos analisar cada uma das opções para ver qual delas está correta com base no que descobrimos:
-
Opção (a): A afirmação
é verdadeira. Análise: Não temos informação sobre. Nosso ponto de partida foi , e a regra apenas nos permite avançar para afirmações de índices maiores. Portanto, não podemos afirmar que é verdadeira. -
Opção (b):
é verdadeira para todo . Análise: Vamos verificar para: - Para
: → é verdadeira. - Para
: → é verdadeira. - E assim por diante…
Isso confirma queé verdadeira para todo . - Para
-
Opção ©: A afirmação
é verdadeira. Análise: Nosso processo gera somente afirmações com índices ímpares a partir de 5 (5, 7, 9, …). Como 22 é um número par, não temos garantia de queseja verdadeira. -
Opção (d): Todas as afirmações
são verdadeiras. Análise: Apenas as afirmações com índices ímpares a partir de 5 são garantidamente verdadeiras. Não podemos afirmar que todas as afirmações são verdadeiras. -
Opção (e): As afirmações
, com são verdadeiras. Análise: Novamente, apenas as afirmações com índices ímpares a partir de 5 são verdadeiras. As afirmações com índices pares a partir de 6, por exemplo, não são garantidas como verdadeiras.
Resposta
A opção (b)
é verdadeira para todo
é verdadeira.
Exercícios relacionados
Calcule o limite
.
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) o limite não existe.
(a)
(b)
©
(d)
(e) o limite não existe.
Resolva a equação
.
(a) ;
(b) a equação não admite soluções;
© ;
(d) ;
(e) .
(a)
(b) a equação não admite soluções;
©
(d)
(e)
Calcule o limite
.
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) o limite não existe;
(e) .
(a)
(b)
©
(d) o limite não existe;
(e)
Calcule a derivada da função inversa
no punto
, sabendo que
.
(a)
(b)
©
(d)
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)