Calcule o limite L=lim x 0(7 x-3 x^2) sin (1x^2).
(a) L=0;
(b) L=-infty;
© L=+infty;
(d) o limite não existe;
(e) L=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades do seno e os limites envolvendo funções oscilatórias.

Passo 2

Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, .

Passo 3

Vamos multiplicar os dois lados da desigualdade por - (7x - 3x^2) <= (7x - 3x^2) cdot sin(1x^2) <= (7x - 3x^2) . Como está se aproximando de 0, vamos considerar positivo para simplificar a análise, mas o mesmo raciocínio vale para negativo.

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites das expressões limx to 0 -(7x - 3x^2) = 0 e limx to 0 (7x - 3x^2) = 0 quando tende a 0.

Passo 5

Pela Regra do Sanduíche (ou Teorema do Confronto), se uma função está limitada por duas funções que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite. Como ambas as expressões inferiores e superiores tendem a 0, então:
limx to 0 (7x - 3x^2) cdot sin(1x^2) = 0

Resposta

(a)

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