Calcule a derivada da função nos ponto dado:
ponto
em
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a derivada da função
no ponto
. Então, estamos trabalhando com derivadas, que é um conteúdo de cálculo diferencial. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções que envolvem raízes e polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de derivar. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de
. Então, ficamos com:
Isso vai facilitar na hora de aplicar as regras de derivação.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar
. A regra da cadeia serve quando temos uma função dentro de outra função, como aqui onde temos
dentro da raiz. A regra diz que a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia na nossa função:
Aqui, derivamos o que está dentro da raiz, que é
, e sua derivada é
.
Passo 5
Simplificando a expressão da derivada:
Cancelamos o 2 no numerador e denominador para deixar a expressão mais simples.
Passo 6
Agora, vamos substituir
na expressão da derivada para encontrar o valor específico:
Calculamos o valor dentro da raiz e substituímos.
Passo 7
Simplificando a raiz de 8:
Então, temos:
Podemos racionalizar o denominador se quisermos, mas para manter simples, deixamos assim.
Resposta
A derivada da função
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Seja
uma função derivável e
. Calcule
.
Seja
em que
e
são funções deriváveis. Se
e
, determine
.
Calcule a derivada da função nos ponto dado:
ponto
em
;
Calcule a derivada da função nos ponto dado:
0,2 (d) ponto
em
.
0,2 (d)