Calcule a derivada da função nos ponto dado:
ponto em ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a derivada da função no ponto . Então, estamos trabalhando com derivadas, que é um conteúdo de cálculo diferencial. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções que envolvem raízes e polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de derivar. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de . Então, ficamos com:
Isso vai facilitar na hora de aplicar as regras de derivação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar . A regra da cadeia serve quando temos uma função dentro de outra função, como aqui onde temos dentro da raiz. A regra diz que a derivada de é .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia na nossa função:
Aqui, derivamos o que está dentro da raiz, que é , e sua derivada é .

Passo 5

Simplificando a expressão da derivada:
Cancelamos o 2 no numerador e denominador para deixar a expressão mais simples.

Passo 6

Agora, vamos substituir na expressão da derivada para encontrar o valor específico:
Calculamos o valor dentro da raiz e substituímos.

Passo 7

Simplificando a raiz de 8:
Então, temos:
Podemos racionalizar o denominador se quisermos, mas para manter simples, deixamos assim.

Resposta

A derivada da função no ponto é:

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Seja uma função derivável e . Calcule .
Seja em que e são funções deriváveis. Se e , determine .
Calcule a derivada da função nos ponto dado:
ponto em ;
Calcule a derivada da função nos ponto dado:
0,2 (d) ponto em .