Calcule a derivada da função no ponto ( 1,0 ), na direção que forma um ângulo de com o eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto na direção que forma um ângulo de com o eixo . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a derivada direcional e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto dado e de um vetor unitário que indica a direção que queremos.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente da função é:
No ponto :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor na direção que forma um ângulo de com o eixo . Para isso, vamos usar as funções trigonométricas seno e cosseno para determinar as componentes desse vetor.
As componentes do vetor são dadas por:
Onde . Então:
Calculando:
Portanto:

Passo 5

Agora que temos o gradiente da função no ponto e o vetor unitário na direção desejada, podemos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção.
A fórmula da derivada direcional é:
Substituindo os valores:
Calculando:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção que forma um ângulo de com o eixo é -2.

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