Calcule a derivada da função
no ponto ( 1,0 ), na direção que forma um ângulo de
com o eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção que forma um ângulo de
com o eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a derivada direcional e o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função
no ponto dado e de um vetor unitário que indica a direção que queremos.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Calculando as derivadas:
Então, o gradiente da função é:
No ponto
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor na direção que forma um ângulo de
com o eixo
. Para isso, vamos usar as funções trigonométricas seno e cosseno para determinar as componentes desse vetor.
As componentes do vetor são dadas por:
Onde
. Então:
Calculando:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos o gradiente da função no ponto
e o vetor unitário na direção desejada, podemos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção.
A fórmula da derivada direcional
é:
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção que forma um ângulo de
com o eixo
é -2.
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dada por
. Qual o valor de
para cada
pertencente ao domínio de
?
Se
é uma função diferenciável de uma variável e
, com
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em
passa pela origem.
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Calcule a derivada da função
no ponto (
), na direção do vetor
.