Determine o domínio da função
dada por
. Qual o valor de
para cada
pertencente ao domínio de
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
. Queremos descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de
essa função está bem definida. Além disso, precisamos determinar o valor de
para cada
que pertence a esse domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e como funções se comportam quando elevamos números a potências muito grandes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
. Aqui,
está indo para o infinito, então precisamos entender como
se comporta conforme
aumenta.
Lembre-se que elevar um número a uma potência muito grande depende do valor absoluto de
:
- Se
, então tende a 0 quando vai para o infinito. - Se
, então para qualquer . - Se
, então cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 3
Caso 1:
Se
, então
tende a 0 quando
vai para o infinito. Assim:
E como
tende a 1 (já que
vai para 0), temos:
Caso 2:
Se
, então
para qualquer
. Assim:
Caso 3:
Se
, então
cresce sem limites, ou seja, tende a
se
e a
novamente se
(já que estamos elevando ao quadrado). Além disso,
tende a
. O produto de
e
não é definido de forma finita, então o limite não existe dentro dos números reais.
Resposta
O domínio da função
é todo
tal que
. Para cada
nesse domínio,
.
Exercícios relacionados
Se
é uma função diferenciável de uma variável e
, com
, verifique que o plano tangente à superfície
em
passa pela origem.
Determine o ponto da superfície
no qual o plano tangente é paralelo ao plano de equação
.
Calcule a derivada da função
no ponto ( 1,0 ), na direção que forma um ângulo de
com o eixo
Determine o limite da sequência