Determine a velocidade de variação do volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo-se que as arestas da base crescem à razão de cada uma e a aresta vertical decresce à razão de , no instante , em que as arestas da base mediram 30 cm e 20 cm e a vertical 60 cm .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um paralelepípedo retângulo cujas arestas da base estão crescendo a uma taxa de cada uma, e a aresta vertical está decrescendo a uma taxa de . Queremos descobrir como o volume desse paralelepípedo está mudando no instante em que as arestas da base medem 30 cm e 20 cm, e a vertical mede 60 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, derivadas que representam taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis envolvidas:
Seja o comprimento da base,
a largura da base,
a altura (aresta vertical).
A equação do volume de um paralelepípedo retângulo é dada por:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a equação do volume em relação ao tempo usando a regra do produto para derivadas:
Essa fórmula nos mostra como a mudança em cada dimensão afeta o volume total.
Passo 4
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
,
,
(como a aresta está decrescendo),
,
,
.
Substituindo:
Resposta
A velocidade de variação do volume do paralelepípedo no instante considerado é de .