Suponha que a reta tangente ao gráfico de
no ponto
existe, isto é, existe o limite apontado no enunciado do exercício anterior. Verifique que
Em seguida, passe os dois lados da igualdade ao limite, quando
, para mostrar que
. Conclua, finalmente, que
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre continuidade de funções, que é um conceito fundamental no cálculo. A ideia é mostrar que a função
é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de continuidade e trabalhar com limites. Precisamos entender como manipular a expressão dada e aplicar o conceito de limite para provar a continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a igualdade que foi passada:
Essa expressão pode parecer complicada, mas na verdade está reorganizando a função
de uma maneira que facilita o trabalho com limites. A fração
é na verdade a definição da derivada de
em
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos passar os dois lados dessa igualdade para o limite quando
se aproxima de
. Ou seja, vamos calcular:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 4
Primeiro, olhamos para
. Aqui temos o produto de dois limites. A primeira parte,
, pela definição da derivada, sabemos que existe e é igual à derivada de
em
, que vamos chamar de
. A segunda parte,
, é simplesmente 0, porque
se aproxima de
.
Então, multiplicando esses dois resultados:
Passo 5
Agora, olhamos para
. Como
é uma constante em relação a
, o limite é apenas
.
Passo 6
Juntando tudo, temos:
Isso mostra que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
.
Passo 7
Finalmente, pela definição de continuidade, se
, então a função
é contínua no ponto
.
Resposta
Portanto,
é contínua em
.