Suponha que a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) existe, isto é, existe o limite apontado no enunciado do exercício anterior. Verifique que
f(x)=[f(x)-f(a)x-a](x-a)+f(a)
Em seguida, passe os dois lados da igualdade ao limite, quando x a, para mostrar que lim x a f(x)=f(a). Conclua, finalmente, que f é contínua em x=a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre continuidade de funções, que é um conceito fundamental no cálculo. A ideia é mostrar que a função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar a definição de continuidade e trabalhar com limites. Precisamos entender como manipular a expressão dada e aplicar o conceito de limite para provar a continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a igualdade que foi passada:
f(x) = [f(x) - f(a)x - a](x - a) + f(a)
Essa expressão pode parecer complicada, mas na verdade está reorganizando a função de uma maneira que facilita o trabalho com limites. A fração é na verdade a definição da derivada de em quando se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos passar os dois lados dessa igualdade para o limite quando limx to a f(x) = limx to a [f(x) - f(a)x - a](x - a) + limx to a f(a) se aproxima de . Ou seja, vamos calcular:
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, olhamos para f'(a) times 0 = 0 . Aqui temos o produto de dois limites. A primeira parte, , pela definição da derivada, sabemos que existe e é igual à derivada de em , que vamos chamar de . A segunda parte, , é simplesmente 0, porque se aproxima de .
Então, multiplicando esses dois resultados:

Passo 5

Agora, olhamos para . Como é uma constante em relação a , o limite é apenas .

Passo 6

Juntando tudo, temos:
limx to a f(x) = 0 + f(a) = f(a)
Isso mostra que o limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 7

Finalmente, pela definição de continuidade, se , então a função é contínua no ponto .

Resposta

Portanto, é contínua em .

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