Seja f(x)=x^2+a x+b e considere a tarefa de resolver a equaccão f(x)=0 pelo método de Newton. Determine a e b de forma que o método gera uma sequência numérica divergente que alterna entre os valores 1 e 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de a e b na função quadrática de modo que, usando o Método de Newton para resolver a equação , a sequência de aproximações gere números que nunca se estabilizam, alternando sempre entre 1 e 2. Isso envolve entender como o Método de Newton funciona e como ele pode levar a uma sequência que diverge dessa maneira.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o Método de Newton. Ele é uma técnica iterativa para encontrar raízes de uma função. A fórmula geral é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, f'(x) = 2x + a é a derivada de .
No nosso caso, , então a derivada é:
Queremos que a sequência de comece em 1 e depois vá para 2, e continue alternando entre esses dois valores. Vamos ver como isso funciona.

Passo 3

Vamos começar assumindo que x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 1 - 1^2 + a cdot 1 + b2 cdot 1 + a = 1 - 1 + a + b2 + a . Aplicando o Método de Newton:
2 = 1 - 1 + a + b2 + a
Queremos que 2 - 1 = -1 + a + b2 + a 1 = -1 + a + b2 + a 1 cdot (2 + a) = - (1 + a + b) 2 + a = -1 - a - b . Então:
2 + a + 1 + a + b = 0 3 + 2a + b = 0 (Equação 1)
Resolvendo essa equação:
Agora, vamos reorganizar os termos:
çã

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Método de Newton novamente, mas partindo de x2 = x1 - f(x1)f'(x1) = 2 - 2^2 + a cdot 2 + b2 cdot 2 + a = 2 - 4 + 2a + b4 + a para encontrar 1 = 2 - 4 + 2a + b4 + a :
1 - 2 = -4 + 2a + b4 + a -1 = -4 + 2a + b4 + a 4 + 2a + b4 + a = 1 4 + 2a + b = 4 + a
Queremos que 4 + 2a + b - 4 - a = 0 a + b = 0 (Equação 2) . Então:
Resolvendo essa equação:
Reorganizando:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
  1. (2a + b) - (a + b) = -3 - 0 a = -3
  2. -3 + b = 0 b = 3
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
Agora, substituindo na Equação 2:

Resposta

Os valores são e .

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