Seja
e considere a tarefa de resolver a equaccão
pelo método de Newton. Determine
e
de forma que o método gera uma sequência numérica divergente que alterna entre os valores 1 e 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de a e b na função quadrática
de modo que, usando o Método de Newton para resolver a equação
, a sequência de aproximações gere números que nunca se estabilizam, alternando sempre entre 1 e 2. Isso envolve entender como o Método de Newton funciona e como ele pode levar a uma sequência que diverge dessa maneira.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o Método de Newton. Ele é uma técnica iterativa para encontrar raízes de uma função. A fórmula geral é:
Aqui,
é a derivada de
.
No nosso caso,
, então a derivada é:
Queremos que a sequência de
comece em 1 e depois vá para 2, e continue alternando entre esses dois valores. Vamos ver como isso funciona.
Passo 3
Vamos começar assumindo que
. Aplicando o Método de Newton:
Queremos que
. Então:
Resolvendo essa equação:
Agora, vamos reorganizar os termos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Método de Newton novamente, mas partindo de
para encontrar
:
Queremos que
. Então:
Resolvendo essa equação:
Reorganizando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
Agora, substituindo
na Equação 2:
Resposta
Os valores são
e
.
Exercícios relacionados
Escreva a iteração do método de Newton para este problema e faça (à mão) três iterações para estimar
, partindo de
e sem efetuar qualquer divisão durante os cálculos.
Faça (à mão) duas iterações do método da secante para resolver a equação
, partindo de
e
. Verifique, em cada iteração, se pelo menos um dos critérios de parada do método é satisfeito para uma tolerância de
.
No problema de encontrar a raiz de uma equação pelo método de Newton, um chute inicial de
com
produz
. Qual é a derivada de
em
?
Calcule a derivada das funções abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)