Seja e considere a tarefa de resolver a equaccão pelo método de Newton. Determine e de forma que o método gera uma sequência numérica divergente que alterna entre os valores 1 e 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de a e b na função quadrática de modo que, usando o Método de Newton para resolver a equação , a sequência de aproximações gere números que nunca se estabilizam, alternando sempre entre 1 e 2. Isso envolve entender como o Método de Newton funciona e como ele pode levar a uma sequência que diverge dessa maneira.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o Método de Newton. Ele é uma técnica iterativa para encontrar raízes de uma função. A fórmula geral é:
Aqui, é a derivada de .
No nosso caso, , então a derivada é:
Queremos que a sequência de comece em 1 e depois vá para 2, e continue alternando entre esses dois valores. Vamos ver como isso funciona.

Passo 3

Vamos começar assumindo que . Aplicando o Método de Newton:
Queremos que . Então:
Resolvendo essa equação:
Agora, vamos reorganizar os termos:
çã

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Método de Newton novamente, mas partindo de para encontrar :
Queremos que . Então:
Resolvendo essa equação:
Reorganizando:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
Agora, substituindo na Equação 2:

Resposta

Os valores são e .

Exercícios relacionados

Escreva a iteração do método de Newton para este problema e faça (à mão) três iterações para estimar , partindo de e sem efetuar qualquer divisão durante os cálculos.
Faça (à mão) duas iterações do método da secante para resolver a equação , partindo de e . Verifique, em cada iteração, se pelo menos um dos critérios de parada do método é satisfeito para uma tolerância de .
No problema de encontrar a raiz de uma equação pelo método de Newton, um chute inicial de com produz . Qual é a derivada de em ?
Calcule a derivada das funções abaixo:
(a)
(b)
©
(d)