No problema de encontrar a raiz de uma equação pelo método de Newton, um chute inicial de x0=4 com f(x0)=1 produz x1=3. Qual é a derivada de f em x0 ?

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Estamos usando o método de Newton para encontrar a raiz de uma equação. Começamos com um chute inicial , onde a função avaliando esse ponto é . Após aplicar o método, obtemos . Precisamos descobrir qual é a derivada de em .
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica de aproximação para encontrar raízes de funções. Esse método usa a derivada da função para iterativamente chegar mais perto da raiz.
O que Precisamos:
  • Fórmula do Método de Newton-Raphson.
  • Entender como relacionar os valores dados para encontrar a derivada.

Passo 2

Fórmula do Método de Newton-Raphson:
A fórmula para atualizar o chute é dada por:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • é o chute atual.
  • é o valor da função no chute atual.
  • é a derivada da função no chute atual.
  • é o próximo chute.

Passo 3

Aplicando os Valores Dados:
Sabemos que:
  • 3 = 4 - 1f'(4)
  • Após a aplicação do método, obtemos
Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 4

Resolvendo para 3 = 4 - 1f'(4) 3 - 4 = -1f'(4) -1 = -1f'(4) 1 = 1f'(4) f'(4) = 1 :
Vamos isolar :

Resposta

A derivada de em é .

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