No problema de encontrar a raiz de uma equação pelo método de Newton, um chute inicial de com produz . Qual é a derivada de em ?

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Estamos usando o método de Newton para encontrar a raiz de uma equação. Começamos com um chute inicial , onde a função avaliando esse ponto é . Após aplicar o método, obtemos . Precisamos descobrir qual é a derivada de em .
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica de aproximação para encontrar raízes de funções. Esse método usa a derivada da função para iterativamente chegar mais perto da raiz.
O que Precisamos:
  • Fórmula do Método de Newton-Raphson.
  • Entender como relacionar os valores dados para encontrar a derivada.

Passo 2

Fórmula do Método de Newton-Raphson:
A fórmula para atualizar o chute é dada por:
Onde:
  • é o chute atual.
  • é o valor da função no chute atual.
  • é a derivada da função no chute atual.
  • é o próximo chute.

Passo 3

Aplicando os Valores Dados:
Sabemos que:
  • Após a aplicação do método, obtemos
Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 4

Resolvendo para :
Vamos isolar :

Resposta

A derivada de em é .

Exercícios relacionados

Seja e considere a tarefa de resolver a equaccão pelo método de Newton. Determine e de forma que o método gera uma sequência numérica divergente que alterna entre os valores 1 e 2 .
Escreva a iteração do método de Newton para este problema e faça (à mão) três iterações para estimar , partindo de e sem efetuar qualquer divisão durante os cálculos.
Calcule a derivada das funções abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
Determine os valores de de modo que a função definida por
a) Possua limite no ponto ;
b) Seja contínua em .