( ) Determine os valores de de modo que a função definida por
a) Possua limite no ponto ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os valores de para os quais a função tem limite no ponto . A função está definida por partes, e vamos precisar usar conceitos de limites laterais para verificar a existência do limite em .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter um limite no ponto . Para que o limite exista, os limites pela esquerda () e pela direita () devem ser iguais.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de 1 vindo dos valores menores que 1. A função nessa região é .
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1. A função nessa região é .
Passo 5
Para que o limite em exista, os dois limites laterais devem ser iguais. Assim, igualamos os resultados obtidos:
Passo 6
Vamos resolver a equação . Subtraindo 1 de ambos os lados:
Em seguida, trazendo todos os termos para um lado:
Fatorando:
Passo 7
As soluções dessa equação são ou . Portanto, os valores de que fazem com que a função tenha limite no ponto são 0 e 4.
Resposta
Os valores de que garantem que a função possui limite em são e .