( 0,2 pt ) Determine os valores de a in R de modo que a função f: R -> R definida por f(x) = { x^2 + a^2 se x < 1; 1 se x = 1; x + 4a se x > 1 }
a) Possua limite no ponto x = 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os valores de para os quais a função tem limite no ponto . A função está definida por partes, e vamos precisar usar conceitos de limites laterais para verificar a existência do limite em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter um limite no ponto . Para que o limite exista, os limites pela esquerda ( ) e pela direita ( ) devem ser iguais.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de 1 vindo dos valores menores que 1. A função nessa região é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita, quando se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1. A função nessa região é .

Passo 5

Para que o limite em exista, os dois limites laterais devem ser iguais. Assim, igualamos os resultados obtidos:

Passo 6

Vamos resolver a equação . Subtraindo 1 de ambos os lados:
Em seguida, trazendo todos os termos para um lado:
Fatorando:

Passo 7

As soluções dessa equação são ou . Portanto, os valores de que fazem com que a função tenha limite no ponto são 0 e 4.

Resposta

Os valores de que garantem que a função possui limite em são e .

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