Calcule a derivada das funções abaixo.
(d) f(t) = ((t^3 + 13 t^2 - 1) / (t - 1))^31

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de calcular a derivada da função . Esse problema está na área de cálculo, mais especificamente em derivadas. Para resolver, vamos usar a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente.

Passo 2

Primeiro, observe que a função é uma potência de um quociente. Para derivar, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos diz para derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos identificar a função interna e a externa:
  • Função externa: , onde .
  • Função interna: .

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de será:
Agora precisamos encontrar a derivada da função interna .

Passo 5

Para derivar , usamos a Regra do Quociente, que diz:
Aqui, e .

Passo 6

Calculamos as derivadas de e :
Agora substituímos na fórmula da Regra do Quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo :
Então, a derivada da função interna fica:

Passo 8

Voltando à derivada da função , substituímos a derivada da função interna:

Resposta

A derivada da função é:

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