Calcule os limites abaixo.
© lim x -infty sen(x)x (Use o Teorema do Confronto)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto, que nos ajuda a encontrar limites usando funções que “apertam” a função que queremos analisar.

Passo 2

O Teorema do Confronto, ou Teorema do Squeeze, diz que se uma função está entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então o limite da função intermediária também é esse mesmo valor. No nosso caso, sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:

Passo 3

Vamos dividir cada parte dessa desigualdade por -1x >= sen(x)x >= 1x . Como está tendendo a , que é um número negativo, ao dividir ou multiplicar por , a ordem da desigualdade se inverte. Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar os limites das funções que estão nos “limites” da nossa desigualdade à medida que limx to -infty -1x = 0 e limx to -infty 1x = 0 tende a :
Ambos os limites são 0 porque, conforme fica cada vez mais negativo, e se aproximam de 0.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, já que está entre lim x -infty sen(x)x = 0 e , e ambos os limites são 0, concluímos que:

Resposta

O limite é igual a 0.

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