Calcule a derivada das funções abaixo.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo como regras de derivação para funções trigonométricas e funções de potência. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função. Note que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função. Então, podemos tirar o 1/12 para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos derivar a parte dentro dos parênteses. Primeiro, temos . Sabia que existe uma identidade trigonométrica que pode ajudar aqui? Sim, é a identidade do seno duplo:
Então, podemos reescrever como:

Passo 4

Vamos derivar . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é . Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Primeiro, reescrevemos a raiz como potência:
A derivada de é . Aplicando isso:

Passo 6

Agora, juntamos tudo e multiplicamos pela constante :
Se quisermos simplificar mais:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Considere a seguinte função .
(a) Determine o domínio da função e as interseções com os eixos coordenados (caso existam).
Calcule os limites abaixo.
(f)
Calcule a derivada das funções abaixo.
(d)
Determine a equação da reta tangente a curva no ponto .