Calcule a derivada das funções abaixo: cos(x) / (x sen(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função . A matéria que entra aqui é cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação como a regra do quociente. Para resolver, vamos precisar aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual regra de derivação usar. Temos uma função que é o quociente de duas funções: no numerador e no denominador . Quando temos uma divisão de funções, a regra do quociente é a mais adequada para encontrar a derivada.

Passo 3

A regra do quociente diz que se temos uma função , então a derivada é dada por:
Vamos aplicar isso na nossa função onde e .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e :
Para derivar , usamos a regra do produto, que diz que . Aqui, e , então:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:

Passo 6

Podemos fatorar dos dois primeiros termos:
Sabemos que , então:
Portanto, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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