Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular a derivada da função
. Estamos trabalhando com derivadas, especificamente usando a regra do produto, porque temos a multiplicação de três funções:
,
e
. Vamos precisar conhecer as derivadas dessas funções básicas e como aplicar a regra do produto passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a regra do produto. Quando temos a derivada do produto de duas funções,
e
, a regra diz que:
Como nossa função tem três partes multiplicadas, vamos aplicar a regra do produto duas vezes.
Passo 3
Vamos considerar
e
. Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
. Novamente, vamos usar a regra do produto para essas duas funções. Seja
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas de
e
:
Aqui, usamos que a derivada de
é
e a derivada de
é
, onde
é a cosecante de
.
Passo 6
Aplicando a regra do produto para
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, voltamos à função original. Aplicando a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Esse é o resultado final da derivada, expressando todos os termos multiplicados conforme aplicamos a regra do produto e simplificamos.
Resposta
A derivada da função
é:
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