Calcule a derivada das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular a derivada da função . Estamos trabalhando com derivadas, especificamente usando a regra do produto, porque temos a multiplicação de três funções: , e . Vamos precisar conhecer as derivadas dessas funções básicas e como aplicar a regra do produto passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra do produto. Quando temos a derivada do produto de duas funções, e , a regra diz que:
Como nossa função tem três partes multiplicadas, vamos aplicar a regra do produto duas vezes.

Passo 3

Vamos considerar e . Primeiro, vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de . Novamente, vamos usar a regra do produto para essas duas funções. Seja e .

Passo 5

Calculando as derivadas de e :
Aqui, usamos que a derivada de é e a derivada de é , onde é a cosecante de .

Passo 6

Aplicando a regra do produto para :
Simplificando:

Passo 7

Agora, voltamos à função original. Aplicando a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
Esse é o resultado final da derivada, expressando todos os termos multiplicados conforme aplicamos a regra do produto e simplificamos.

Resposta

A derivada da função é:

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