Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(g)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral
Essa integral envolve o uso da substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para resolver integrais que contêm expressões quadráticas sob uma raiz. Vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas básicas e da regra de substituição para facilitar o cálculo.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição trigonométrica adequada. Observamos que temos uma expressão da forma , onde e . Para esse caso, uma boa escolha é:
Dessa forma, podemos simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Com a substituição , calculamos a derivada de em relação a :
Isso nos ajudará a substituir na integral original.

Passo 4

Substituímos e na integral:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a expressão se torna:

Passo 5

Simplificamos as potências:
E para o denominador:
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Simplificamos os coeficientes:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Para facilitar a integração, reescrevemos a expressão trigonométrica:
Então, a integral se torna:

Passo 8

Vamos fazer uma nova substituição para resolver a integral. Seja:
Substituindo na integral:

Passo 9

Integrando em relação a :
Substituindo :

Passo 10

Agora, voltamos à variável original . Sabemos que:
Portanto:
Substituindo na expressão anterior:

Resposta

A integral vale

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(b)
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(f)
Calcule a derivada das funções abaixo:
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