Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(g)
(g)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral
Essa integral envolve o uso da substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para resolver integrais que contêm expressões quadráticas sob uma raiz. Vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas básicas e da regra de substituição para facilitar o cálculo.
Passo 2
Vamos começar escolhendo uma substituição trigonométrica adequada. Observamos que temos uma expressão da forma
, onde
e
. Para esse caso, uma boa escolha é:
Dessa forma, podemos simplificar a expressão dentro da raiz.
Passo 3
Com a substituição
, calculamos a derivada de
em relação a
:
Isso nos ajudará a substituir
na integral original.
Passo 4
Substituímos
e
na integral:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a expressão se torna:
Passo 5
Simplificamos as potências:
E para o denominador:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Simplificamos os coeficientes:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Para facilitar a integração, reescrevemos a expressão trigonométrica:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Vamos fazer uma nova substituição para resolver a integral. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 9
Integrando em relação a
:
Substituindo
:
Passo 10
Agora, voltamos à variável original
. Sabemos que:
Portanto:
Substituindo na expressão anterior:
Resposta
A integral vale
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