Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(g) integral (16-9 x^2)^32x^6 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral
integral (16 - 9x^2)^32x^6 , dx
Essa integral envolve o uso da substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para resolver integrais que contêm expressões quadráticas sob uma raiz. Vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas básicas e da regra de substituição para facilitar o cálculo.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição trigonométrica adequada. Observamos que temos uma expressão da forma x = 43 sin(theta) , onde e . Para esse caso, uma boa escolha é:
Dessa forma, podemos simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Com a substituição dx = 43 cos(theta) , dtheta , calculamos a derivada de em relação a :
Isso nos ajudará a substituir na integral original.

Passo 4

Substituímos integral (16 - 9(43sin(theta))^2)^32(43sin(theta))^6 cdot 43 cos(theta) , dtheta e 16 - 9(169sin^2(theta)) = 16 - 16sin^2(theta) = 16cos^2(theta) na integral:
integral (16cos^2(theta))^32(43sin(theta))^6 cdot 43 cos(theta) , dtheta
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a expressão se torna:

Passo 5

Simplificamos as potências:
(16cos^2(theta))^32 = 16^32 cos^3(theta) = 64cos^3(theta)
E para o denominador:
(43sin(theta))^6 = 4096729sin^6(theta)
Substituindo de volta na integral:
integral 64cos^3(theta)4096729sin^6(theta) cdot 43 cos(theta) , dtheta

Passo 6

Simplificamos os coeficientes:
644096729 = 64 times 7294096 = 466564096 = 72964
Agora, a integral fica:
72964 times 43 integral cos^4(theta)sin^6(theta) , dtheta = 24316 integral cos^4(theta)sin^6(theta) , dtheta

Passo 7

Para facilitar a integração, reescrevemos a expressão trigonométrica:
cos^4(theta)sin^6(theta) = cot^4(theta) csc^2(theta)
Então, a integral se torna:
24316 integral cot^4(theta) csc^2(theta) , dtheta

Passo 8

Vamos fazer uma nova substituição para resolver a integral. Seja:
u = cot(theta) Rightarrow du = -csc^2(theta) , dtheta
Substituindo na integral:
24316 integral u^4 (-du) = -24316 integral u^4 , du

Passo 9

Integrando em relação a -24316 times u^55 + C = -24380 u^5 + C :
-24380 cot^5(theta) + C
Substituindo :

Passo 10

Agora, voltamos à variável original cot(theta) = cos(theta)sin(theta) = raiz16 - 9x^23x . Sabemos que:
cot^5(theta) = (raiz16 - 9x^23x)^5 = (16 - 9x^2)^52243x^5
Portanto:
-24380 times (16 - 9x^2)^52243x^5 + C = -(16 - 9x^2)^5280x^5 + C
Substituindo na expressão anterior:

Resposta

A integral vale
-(16 - 9x^2)^5280, x^5 + C

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