Calcule a derivada das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar conhecimentos de derivadas, especificamente a derivada de funções exponenciais e a regra da cadeia. Vamos por partes para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando propriedades de potências. Sabemos que . Aplicando isso:
Assim, a função fica mais simples: .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . Para derivar funções exponenciais da forma , usamos a regra:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos aplicar a regra mencionada:
  1. A parte permanece: .
  2. Multiplicamos pelo logaritmo natural de : .
  3. Derivamos . Sabemos que a derivada de é .
Colocando tudo junto:

Resposta

A derivada da função é .

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Determine para que a função seja derivável em todos os pontos.