Determine
para que a função
seja derivável em todos os pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar os valores de
e
para que a função
seja derivável em todos os pontos. Isso significa que a função não só precisa ser contínua no ponto onde muda a definição (no caso,
), mas também que as inclinações das curvas das duas partes da função devem ser iguais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Para isso, o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
) deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita (
).
Para
, a função é
. Então:
Para
, a função é
. Então:
Como a função precisa ser contínua em
, temos:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja derivável em
. Para isso, precisamos que as derivadas das duas partes da função também sejam iguais nesse ponto.
Primeiro, vamos derivar
para
:
Então, a derivada pela esquerda em
é:
Agora, vamos derivar
para
:
Então, a derivada pela direita em
é:
Como a função precisa ser derivável em
, temos:
Passo 4
Com
encontrado no passo anterior, podemos substituir esse valor na equação
que encontramos no passo 2:
Resolvendo para
:
Resposta
Os valores são
e
.
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.
Calcule a derivada de
.