Determine para que a função seja derivável em todos os pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar os valores de e para que a função seja derivável em todos os pontos. Isso significa que a função não só precisa ser contínua no ponto onde muda a definição (no caso, ), mas também que as inclinações das curvas das duas partes da função devem ser iguais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ).
Para , a função é . Então:
Para , a função é . Então:
Como a função precisa ser contínua em , temos:

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja derivável em . Para isso, precisamos que as derivadas das duas partes da função também sejam iguais nesse ponto.
Primeiro, vamos derivar para :
Então, a derivada pela esquerda em é:
Agora, vamos derivar para :
Então, a derivada pela direita em é:
Como a função precisa ser derivável em , temos:

Passo 4

Com encontrado no passo anterior, podemos substituir esse valor na equação que encontramos no passo 2:
Resolvendo para :

Resposta

Os valores são e .

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