Calcule a derivada das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com derivadas de funções compostas onde tanto a base quanto o expoente dependem de
. Para isso, vamos precisar usar diferenciação logarítmica, que é bem útil quando temos funções com variáveis no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação:
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, ficamos com:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, precisamos usar a regra do produto porque temos
multiplicando
:
Passo 4
Continuando a derivação do lado direito, aplicamos a regra da cadeia na segunda parte:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
é:
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Seja
com
constante. Verifique que
Multiplicação de radicais:
Divisão e racionalização de denominadores de radicais
Escreva as frações abaixo como uma fração equivalente com o denominador indicado