Calcule a derivada das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos lidando com derivadas de funções compostas onde tanto a base quanto o expoente dependem de . Para isso, vamos precisar usar diferenciação logarítmica, que é bem útil quando temos funções com variáveis no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação:
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, ficamos com:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, precisamos usar a regra do produto porque temos multiplicando :

Passo 4

Continuando a derivação do lado direito, aplicamos a regra da cadeia na segunda parte:
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

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Escreva as frações abaixo como uma fração equivalente com o denominador indicado