Calcule a derivada das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, então vamos precisar usar algumas regras de diferenciação como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. Aqui, a “função externa” é a potência e a “função interna” é .
A regra da cadeia nos diz que a derivada de é .

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função externa em relação à função interna. Se , então:
Substituindo , temos:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a derivada da função interna . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e .

Passo 6

Calculando as derivadas de e :
Aplicando na regra do quociente:

Passo 7

Agora, voltamos à regra da cadeia. Multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:

Passo 8

Simplificando a expressão:
Podemos reescrever como :

Resposta

A derivada da função é:

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