Calcule a derivada das funções abaixo.
(f) f(x) = tg(x) * 5^(2*x - 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a derivada da função . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto, que é usada quando temos a derivada de duas funções multiplicadas entre si. Além disso, vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas funções que estão sendo multiplicadas:
  • (a função trigonométrica tangente)
  • (a função exponencial com base 5)

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de é:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Vamos derivar . A derivada da tangente é:
Mas, mais comumente, sabemos que:
Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Para derivar uma função exponencial da forma , usamos a regra:
Aqui, e . Então:
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos e , vamos substituir na regra do produto:

Passo 7

Podemos fatorar para simplificar a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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