Calcule a derivada das funções abaixo.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a derivada da função
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto, que é usada quando temos a derivada de duas funções multiplicadas entre si. Além disso, vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, identifique as duas funções que estão sendo multiplicadas:
-
(a função trigonométrica tangente) -
(a função exponencial com base 5)
Passo 3
Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de
é:
Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Vamos derivar
. A derivada da tangente é:
Mas, mais comumente, sabemos que:
Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Para derivar uma função exponencial da forma
, usamos a regra:
Aqui,
e
. Então:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos substituir na regra do produto:
Passo 7
Podemos fatorar
para simplificar a expressão:
Resposta
A derivada da função é: