Calcule a derivada das funções abaixo, nos pontos dados, usando as fórmulas e regras de derivação. , nos pontos .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: Precisamos encontrar a derivada da função nos pontos e . Para isso, vamos usar as regras de derivação, que nos ajudam a encontrar a taxa de variação de uma função em qualquer ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Observamos que pode ser simplificado:
Então, a função simplificada fica:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função usando expoentes fracionários e negativos para facilitar a aplicação das regras de derivação:

Passo 4

Vamos derivar cada termo individualmente usando a regra do poder, que diz que a derivada de é :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :

Passo 5

Agora, juntamos as derivadas dos três termos para obter a derivada completa de :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo nos pontos dados:

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada nos pontos e .
Primeiro, para :
Em seguida, para :
Vamos calcular cada parte:
Então:

Resposta

A derivada da função nos pontos dados é:
  • Em ,
  • Em ,

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Seja . Pede-se: Utilizando estas informações, faça um esboço do gráfico de .
Se , mostre que
Calcule a derivada das funções abaixo, nos pontos dados, usando as fórmulas e regras de derivação. , nos pontos e .