Calcule a derivada das funções abaixo, nos pontos dados, usando as fórmulas e regras de derivação.
, nos pontos
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: Precisamos encontrar a derivada da função
nos pontos
e
. Para isso, vamos usar as regras de derivação, que nos ajudam a encontrar a taxa de variação de uma função em qualquer ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
para facilitar a derivação. Observamos que
pode ser simplificado:
Então, a função simplificada fica:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função usando expoentes fracionários e negativos para facilitar a aplicação das regras de derivação:
Passo 4
Vamos derivar cada termo individualmente usando a regra do poder, que diz que a derivada de
é
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 5
Agora, juntamos as derivadas dos três termos para obter a derivada completa de
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão
para facilitar o cálculo nos pontos dados:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada nos pontos
e
.
Primeiro, para
:
Em seguida, para
:
Vamos calcular cada parte:
Então:
Resposta
A derivada da função
nos pontos dados é:
- Em
, - Em
,
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Seja
. Pede-se: Utilizando estas informações, faça um esboço do gráfico de
.
Se
, mostre que
Calcule a derivada das funções abaixo, nos pontos dados, usando as fórmulas e regras de derivação.
, nos pontos
e
.