Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado
integral x^2 raiz9-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral usando substituição trigonométrica. Esse método é super útil quando temos expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios, como aqui. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e entender como fazer a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, observamos que dentro da raiz temos , que se parece com a identidade trigonométrica . Para simplificar a integral, vamos fazer a substituição trigonométrica . Assim, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx = 3 costheta , dtheta em termos de . Diferenciando , temos:

Passo 4

Vamos substituir integral x^2 raiz9 - x^2 , dx = integral (9 sin^2theta) cdot (3 costheta) cdot (3 costheta , dtheta) e = 81 integral sin^2theta cos^2theta , dtheta na integral original:
Multiplicando os termos:

Passo 5

Para integrar sin^2theta cos^2theta = (sin2theta2)^2 = 1 - cos4theta8 , usamos a identidade trigonométrica:
81 integral sin^2theta cos^2theta , dtheta = 81 cdot 18 integral (1 - cos4theta) , dtheta = 818 integral (1 - cos4theta) , dtheta
Portanto:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
818 [ theta - sin4theta4 ] + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos voltar para a variável original theta = arcsin(x3) . Sabemos que costheta = raiz9 - x^23 , então:
sin4theta = 2 sin2theta cos2theta = 2 cdot 2 sintheta costheta cdot (2 cos^2theta - 1) = 4 sintheta costheta (2 cos^2theta - 1)
E também, pelo triângulo retângulo associado:
Além disso, usando a identidade para :
Substituindo e , podemos expressar em termos de .

Passo 8

Finalmente, substituímos tudo de volta na expressão integrada:
818 [ arcsin(x3) - sin4theta4 ] + C
Simplificando, a integral fica expressa em termos de .

Resposta

A integral 818 arcsin(x3) - 8132 sin(4 arcsin(x3)) + C é igual a
onde é a constante de integração.

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