Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral usando substituição trigonométrica. Esse método é super útil quando temos expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios, como aqui. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e entender como fazer a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, observamos que dentro da raiz temos , que se parece com a identidade trigonométrica . Para simplificar a integral, vamos fazer a substituição trigonométrica . Assim, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de . Diferenciando , temos:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Multiplicando os termos:

Passo 5

Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Portanto:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos voltar para a variável original . Sabemos que , então:
E também, pelo triângulo retângulo associado:
Além disso, usando a identidade para :
Substituindo e , podemos expressar em termos de .

Passo 8

Finalmente, substituímos tudo de volta na expressão integrada:
Simplificando, a integral fica expressa em termos de .

Resposta

A integral é igual a
onde é a constante de integração.

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