Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
usando substituição trigonométrica. Esse método é super útil quando temos expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios, como aqui. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e entender como fazer a substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, observamos que dentro da raiz temos
, que se parece com a identidade trigonométrica
. Para simplificar a integral, vamos fazer a substituição trigonométrica
. Assim,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Diferenciando
, temos:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Multiplicando os termos:
Passo 5
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Portanto:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então:
E também, pelo triângulo retângulo associado:
Além disso, usando a identidade para
:
Substituindo
e
, podemos expressar
em termos de
.
Passo 8
Finalmente, substituímos tudo de volta na expressão integrada:
Simplificando, a integral fica expressa em termos de
.
Resposta
A integral
é igual a
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Seja
. Pede-se: Utilizando estas informações, faça um esboço do gráfico de
.
Calcule:
Calcule a derivada das funções abaixo, nos pontos dados, usando as fórmulas e regras de derivação.
, nos pontos
.
Se
, mostre que