Seja . Pede-se: Utilizando estas informações, faça um esboço do gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa desenhar o gráfico dela. Para isso, vamos usar alguns conceitos de análise de funções, como domínio, interceptos, limites e derivadas. Vamos precisar mexer um pouco com álgebra e cálculo básico para entender como essa função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, quais valores de podemos colocar na função sem que ela dê problema. Olhando para o denominador , percebemos que ele nunca será zero porque é sempre não negativo e somando 1 nunca dá zero. Então, o domínio é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos do gráfico. Começando pelo intercepto y, que ocorre quando :
Então, o intercepto y é no ponto .
Para o intercepto x, também é quando . Já vimos que , então o intercepto x também é no ponto .

Passo 4

Vamos analisar os limites e as assíntotas. Primeiro, vamos ver o que acontece quando vai para o infinito:
O mesmo vale para . Então, há uma assíntota horizontal em , que é o eixo x.
Já para assíntotas verticais, a gente verifica onde o denominador é zero, mas vimos que nunca é zero. Portanto, não há assíntotas verticais.

Passo 5

Vamos determinar onde a função tem máximos ou mínimos. Para isso, precisamos da derivada de . Usando a regra do quociente:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos pontos críticos em e . Vamos avaliar a segunda derivada ou analisar o sinal de para saber se são máximos ou mínimos. Observando :
  • Para , (função crescente).
  • Para , (função decrescente).
Então, em e temos máximos locais.
Vamos calcular os valores desses pontos:
Para :
Para :
Então, os pontos de máximo são e .

Passo 6

Com todas essas informações, vamos resumir:
  • Domínio: Todos os reais.
  • Intercepto: .
  • Assíntota horizontal: .
  • Máximos locais: e .
  • Comportamento: A função cresce de até , depois decresce até , cresce novamente até e decresce para .

Resposta

O gráfico de é uma curva que passa pela origem , tem máximos nos pontos e , e se aproxima do eixo x conforme vai para ou . A curva sobe até , desce até a origem, desce até e sobe novamente, formando uma espécie de “S” alongado.

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