Seja
. Pede-se: Utilizando estas informações, faça um esboço do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa desenhar o gráfico dela. Para isso, vamos usar alguns conceitos de análise de funções, como domínio, interceptos, limites e derivadas. Vamos precisar mexer um pouco com álgebra e cálculo básico para entender como essa função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, quais valores de
podemos colocar na função sem que ela dê problema. Olhando para o denominador
, percebemos que ele nunca será zero porque
é sempre não negativo e somando 1 nunca dá zero. Então, o domínio é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos do gráfico. Começando pelo intercepto y, que ocorre quando
:
Então, o intercepto y é no ponto
.
Para o intercepto x, também é quando
. Já vimos que
, então o intercepto x também é no ponto
.
Passo 4
Vamos analisar os limites e as assíntotas. Primeiro, vamos ver o que acontece quando
vai para o infinito:
O mesmo vale para
. Então, há uma assíntota horizontal em
, que é o eixo x.
Já para assíntotas verticais, a gente verifica onde o denominador é zero, mas vimos que
nunca é zero. Portanto, não há assíntotas verticais.
Passo 5
Vamos determinar onde a função tem máximos ou mínimos. Para isso, precisamos da derivada de
. Usando a regra do quociente:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, temos pontos críticos em
e
. Vamos avaliar a segunda derivada ou analisar o sinal de
para saber se são máximos ou mínimos. Observando
:
- Para
, (função crescente). - Para
, (função decrescente).
Então, em
e
temos máximos locais.
Vamos calcular os valores desses pontos:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de máximo são
e
.
Passo 6
Com todas essas informações, vamos resumir:
- Domínio: Todos os reais.
- Intercepto:
. - Assíntota horizontal:
. - Máximos locais:
e . - Comportamento: A função cresce de
até , depois decresce até , cresce novamente até e decresce para .
Resposta
O gráfico de
é uma curva que passa pela origem
, tem máximos nos pontos
e
, e se aproxima do eixo x
conforme
vai para
ou
. A curva sobe até
, desce até a origem, desce até
e sobe novamente, formando uma espécie de “S” alongado.
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, nos pontos
.