Se
, mostre que
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
e pede para mostrarmos que
. Isso envolve derivadas parciais de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usamos a regra da cadeia aqui.
A função
é composta por duas partes:
e
. Derivando cada parte em relação a
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Diferenciando
em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Diferenciando
em relação a
:
Passo 6
Finalmente, substituímos
e
na expressão
:
Distribuindo o 4:
As partes se cancelam:
Resposta
Portanto, mostramos que
.