Se , mostre que

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos dá uma função e pede para mostrarmos que . Isso envolve derivadas parciais de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Usamos a regra da cadeia aqui.
A função é composta por duas partes: e . Derivando cada parte em relação a :
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Diferenciando em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 5

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Diferenciando em relação a :

Passo 6

Finalmente, substituímos e na expressão :
Distribuindo o 4:
As partes se cancelam:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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Seja .
b) Determine e .