Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível: f(x) = raiz(a^2 - x^2) / (a^2 * x), com a in R.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função , onde é um número real. Para isso, vamos usar regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como essas regras funcionam para aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisaremos derivar. A função está na forma de um quociente, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são funções de . Vamos chamar:
  • (numerador)
  • (denominador)

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra do quociente para derivadas. Se temos uma função , a derivada é dada por:
Vamos precisar encontrar e .

Passo 4

Vamos calcular . Como , podemos reescrever isso como . Aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Como e é uma constante, a derivada é simples:

Passo 6

Com e encontrados, podemos usar a regra do quociente para encontrar :

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:

Passo 8

Agora, vamos simplificar o denominador:

Passo 9

Juntando tudo, temos:

Resposta

A derivada da função é:

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