Dada a curva
, determine, se possível: a equação da reta tangente à curva nos pontos onde a inclinação é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a curva
e precisa encontrar a equação da reta tangente nessa curva nos pontos onde a inclinação é de
. Isso envolve os conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da tangente e entender como usar essa informação para formar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a inclinação de uma reta é dada pela sua derivada. Então, para achar onde a inclinação é
, precisamos descobrir onde a derivada da função é igual à tangente de
. Sabemos que
, então estamos procurando os pontos onde a derivada de
em relação a
é igual a 1.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. Podemos reescrever essa função como
. Usando a regra do poder para derivadas, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, sabemos que a inclinação da tangente deve ser 1. Então, igualamos a derivada a 1 e resolvemos para
:
Para resolver essa equação, elevamos ambos os lados à potência de
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Com o valor de
, vamos encontrar o valor correspondente de
na função original:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 6
Agora, temos o ponto de tangência e a inclinação da reta (
). Vamos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto onde a inclinação é
é
.
Exercícios relacionados
Dada a curva
, determine, se possível: os pontos da curva onde a reta tangente é paralela à reta
.
Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
, com
.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
definida por
que passa pelo ponto
.
Calcule as integrais
.