Dada a curva , determine, se possível: a equação da reta tangente à curva nos pontos onde a inclinação é .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a curva e precisa encontrar a equação da reta tangente nessa curva nos pontos onde a inclinação é de . Isso envolve os conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da tangente e entender como usar essa informação para formar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inclinação de uma reta é dada pela sua derivada. Então, para achar onde a inclinação é , precisamos descobrir onde a derivada da função é igual à tangente de . Sabemos que , então estamos procurando os pontos onde a derivada de em relação a é igual a 1.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . Podemos reescrever essa função como . Usando a regra do poder para derivadas, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, sabemos que a inclinação da tangente deve ser 1. Então, igualamos a derivada a 1 e resolvemos para :
Para resolver essa equação, elevamos ambos os lados à potência de :
Isso simplifica para:

Passo 5

Com o valor de , vamos encontrar o valor correspondente de na função original:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 6

Agora, temos o ponto de tangência e a inclinação da reta ( ). Vamos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde a inclinação é é .

Exercícios relacionados

Dada a curva , determine, se possível: os pontos da curva onde a reta tangente é paralela à reta .
Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível: , com .
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função definida por que passa pelo ponto .
Calcule as integrais .