Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função
. Estamos lidando com cálculo de derivadas, especificamente aplicando a regra do quociente e, possivelmente, a regra do produto. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a função antes de derivar para facilitar nossos cálculos. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Sabemos que:
Substituindo essas expressões na função original:
Assim, nossa função simplificada fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra do quociente para encontrar a derivada de
. A regra do quociente diz que se temos uma função da forma
, então a derivada é:
Aqui, identificamos:
Passo 4
Vamos calcular
usando a regra do produto, que diz que
.
Para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Novamente, usamos a regra do produto para
:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 7
Vamos simplificar um pouco a expressão. Primeiro, distribuímos os termos no numerador:
Essa expressão pode ser simplificada ainda mais fatorando termos comuns, mas a simplificação completa pode ficar bastante extensa. Dependendo do contexto, essa forma já fornece uma boa representação da derivada.
Resposta
A derivada da função é:
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