Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função . Estamos lidando com cálculo de derivadas, especificamente aplicando a regra do quociente e, possivelmente, a regra do produto. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a função antes de derivar para facilitar nossos cálculos. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Sabemos que:
Substituindo essas expressões na função original:
Assim, nossa função simplificada fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do quociente para encontrar a derivada de . A regra do quociente diz que se temos uma função da forma , então a derivada é:
Aqui, identificamos:

Passo 4

Vamos calcular usando a regra do produto, que diz que .
Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular . Novamente, usamos a regra do produto para :
Calculando cada parte:
Então:

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 7

Vamos simplificar um pouco a expressão. Primeiro, distribuímos os termos no numerador:
Essa expressão pode ser simplificada ainda mais fatorando termos comuns, mas a simplificação completa pode ficar bastante extensa. Dependendo do contexto, essa forma já fornece uma boa representação da derivada.

Resposta

A derivada da função é:

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