Encontrar as derivada laterais no ponto x_0 indicado, caso existam, das funções dadas a seguir: f(x) = { 8/x^3, se x ≥ 2; -x^2 + 2x - 5, se x < 2; x0 = 2 }

Passo 1

Então, a gente tem uma função que muda de expressão quando passa do valor 2. Para resolver esse exercício, vamos encontrar as derivadas laterais da função no ponto . Isso envolve entender como a função se comporta à direita e à esquerda desse ponto e aplicar a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada lateral. A derivada à direita de em é o limite da inclinação da reta tangente quando nos aproximamos de por valores maiores que . Já a derivada à esquerda é o limite quando nos aproximamos por valores menores que .

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada à direita, ou seja, considerando . A função nesse intervalo é . Para derivar, usamos a regra da potência:
Então, a derivada à direita em é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada à esquerda, considerando . A função nesse intervalo é . Derivando termo a termo:
Então, a derivada à esquerda em é:

Resposta

As derivadas laterais da função no ponto são:

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