Calcule a derivada das funções abaixo. Simplifique quando possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de derivada! A gente precisa calcular a derivada da função
. Isso envolve conceitos de derivadas de funções compostas, então vamos usar a regra da cadeia. Vamos precisar também saber como derivar a função arco-tangente (
) e a raiz quadrada (
).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Aqui, temos uma função composta onde
está dentro da função
. Então, podemos escrever
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Sabemos que a derivada de
é:
Isso é um resultado padrão da derivada da função arco-tangente.
Passo 4
Em seguida, vamos derivar
em relação a
. A derivada da raiz quadrada de
é:
Lembrando que
pode ser escrito como
, e a derivada de
é
.
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que:
Substituindo as derivadas que encontramos nos passos anteriores:
Passo 6
Como
, substituímos de volta na expressão:
Multiplicando os denominadores:
Resposta
A derivada da função
é: