Calcule a derivada das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com regras de derivação de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente e conhecer as derivadas de funções trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisamos derivar. Temos:
- Numerador:
- Denominador:
Vamos usar a regra do quociente, que diz que se
, então
.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
e
.
-
Derivada de
:
-
Derivada de
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expanda os termos:
Então, podemos reescrever:
Passo 6
Agora, observe que
. Vamos substituir isso na expressão:
Distribuindo o
:
Passo 7
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, o denominador é
. Então, temos:
Podemos fatorar
no numerador:
Passo 9
Lembrando que
, então
. Substituindo:
Passo 10
Simplificando
:
Simplificando os termos:
Resposta
A derivada da função é
.