Calcule a derivada das funções abaixo utilizando a fórmula (quociente de Newton):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
usando a fórmula do quociente de Newton. A gente vai precisar entender um pouco sobre derivadas e como usar essa fórmula para achar a taxa de variação dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente a essa função nesse ponto. Para calcular usando o quociente de Newton, usamos a seguinte fórmula:
Isso significa que vamos calcular a diferença na função quando aumentamos
um pouquinho (h) e dividir por esse aumento, depois ver o que acontece quando
fica muito, muito pequeno.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula na nossa função
. Primeiro, precisamos calcular
:
Agora, substituímos na fórmula do quociente:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Então, a expressão fica:
Podemos simplificar ainda mais dividindo cada termo por
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0:
Resposta
A derivada da função
é
.
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