Calcule a derivada das funções abaixo utilizando a fórmula (quociente de Newton):
Passo 1
Então, vamos lá! Você quer calcular a derivada da função
usando a fórmula do quociente de Newton. Basicamente, isso significa que vamos usar a definição de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente à curva da função em qualquer ponto. Para isso, vamos precisar entender e aplicar essa fórmula direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula do quociente de Newton. Ela diz que a derivada de
em relação a
é o limite, quando
tende a zero, do quociente:
Essa fórmula nos ajuda a calcular a taxa de variação instantânea da função
em qualquer ponto
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função
na fórmula. Temos:
Aqui, substituímos
e
na fórmula do limite.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, expandimos os termos:
Substituindo esses de volta na expressão:
Passo 5
Agora, vamos cancelar e combinar termos semelhantes:
Perceba que
,
,
e
foram cancelados.
Passo 6
Vamos fatorar
no numerador:
Agora, podemos simplificar cancelando o
do numerador com o denominador:
Passo 7
Finalmente, aplicamos o limite quando
tende a zero:
Resposta
A derivada da função
é:
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