Calcule a derivada das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função . Isso está entrando na matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente na parte de derivadas de funções compostas e produtos de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto e saber como derivar funções trigonométricas como o cosseno e a cotangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Produto. Quando temos uma função que é o produto de duas ou mais funções, a derivada dela não é simplesmente o produto das derivadas. Por exemplo, se e são duas funções, então a derivada de é .
No nosso caso, a função é o produto de três funções: , e . Para simplificar, vamos pensar em como , onde e .

Passo 3

Vamos aplicar a Regra do Produto para derivar :
Primeiro, vamos calcular e depois .

Passo 4

Calculando :
Agora, vamos calcular , onde .

Passo 5

Para derivar , novamente usamos a Regra do Produto, já que é o produto de e :
Sabemos que:
Então:

Passo 6

Agora, voltando à derivada de :
Vamos simplificar isso:

Resposta

A derivada de é:

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