Calcule a derivada das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função
. Isso está entrando na matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente na parte de derivadas de funções compostas e produtos de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto e saber como derivar funções trigonométricas como o cosseno e a cotangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Produto. Quando temos uma função que é o produto de duas ou mais funções, a derivada dela não é simplesmente o produto das derivadas. Por exemplo, se
e
são duas funções, então a derivada de
é
.
No nosso caso, a função
é o produto de três funções:
,
e
. Para simplificar, vamos pensar em
como
, onde
e
.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra do Produto para derivar
:
Primeiro, vamos calcular
e depois
.
Passo 4
Calculando
:
Agora, vamos calcular
, onde
.
Passo 5
Para derivar
, novamente usamos a Regra do Produto, já que é o produto de
e
:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Agora, voltando à derivada de
:
Vamos simplificar isso:
Resposta
A derivada de
é:
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Prove que existe
tal que
Seja
. Mostre que função
não é contínua em
.
A função inversa de
A função composta
of