Calcule a integral
integral t sec ^2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Isso envolve técnicas de cálculo de integrais, especificamente a integração por partes. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de derivação e integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da integral vamos chamar de e qual de . Na integração por partes, escolhemos para ser uma função que fica mais simples ao ser derivada, e que seja fácil de integrar.

Passo 3

Escolhemos:
  •  ⇒ 
  •  ⇒ 
    (Sabemos que a integral de é )

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral t sec^2 t , dt = t tan t - integral tan t , dt

Passo 5

Precisamos calcular integral tan t , dt = -ln|cos t| + C . Sabemos que:
integral t sec^2 t , dt = t tan t - (-ln|cos t|) + C = t tan t + ln|cos t| + C
Então, substituindo de volta:

Resposta

A integral t tan t + ln|cos t| + C é igual a:

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