Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva no ponto .

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar as equações das retas tangente e normal à curva no ponto . Vamos precisar usar derivadas para encontrar as inclinações dessas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, substituímos o valor de na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a reta tangente tem inclinação 0, o que significa que ela é horizontal.

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Para encontrar a inclinação da reta normal, pegamos o negativo do inverso da inclinação da tangente. Como a inclinação da tangente é 0, o negativo do inverso seria indefinido, o que significa que a reta normal é vertical.

Passo 6

Uma reta vertical que passa pelo ponto tem equação:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é e a reta normal é .

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