Obtenha transformada de Laplace de
Obs. Obtenha expressões para a e derivadas da função dada, e monte uma equação diferencial a partir da expressão para a derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas dessa função e montar uma equação diferencial usando a segunda derivada. Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas e transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . Lembre-se que para derivar , usamos a regra da cadeia. Ou seja, derivamos a função externa em relação a e multiplicamos pela derivada de em relação a , onde .
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , ou seja, . Para isso, vamos derivar novamente. Temos um produto de duas funções: e . Usaremos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Primeiro, derivamos :
Depois, derivamos :
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos , e , vamos montar uma equação diferencial. A ideia é expressar em termos de . Observando a expressão de , percebemos que ela envolve e , que estão relacionadas a e .
Rearranjando a expressão:
Mas para simplificar, podemos expressar tudo em termos de e suas derivadas, estabelecendo uma relação que facilite a aplicação da transformada de Laplace.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial que montamos. A transformada de Laplace converte a equação diferencial no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Sabemos que:
Onde é a transformada de Laplace de . Vamos assumir que as condições iniciais são nulas, ou seja, e , para simplificar.
Aplicando a transformada:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar as transformadas de Laplace dos termos e . No entanto, essas expressões não são padrão e tornam a equação bastante complicada para resolver diretamente.
Por isso, podemos optar por métodos alternativos ou simplificações, mas dado o nível do aluno que não estudou profundamente a teoria, vamos concluir aqui que a obtenção direta da transformada de Laplace de é bastante complexa e geralmente não é expressa em termos fechados simples.

Resposta

A transformada de Laplace de não possui uma expressão simples em termos de funções elementares padrão. Portanto, para obter , seria necessário utilizar métodos avançados ou tabelas especializadas de transformadas de Laplace.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações exponenciais:
Considere a seguinte equação integral
(a) Aplique a transformada de Laplace diretamente e obtenha .
(b) Aplique o teorema de Leibniz e obtenha uma equação diferencial, aplicando a transformada de
Laplace em seguida.
Calcule a derivada das funções:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
Decida se cada função possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as: