Obtenha transformada de Laplace de
Obs. Obtenha expressões para a
e
derivadas da função dada, e monte uma equação diferencial a partir da expressão para a
derivada.
Obs. Obtenha expressões para a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas dessa função e montar uma equação diferencial usando a segunda derivada. Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas e transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. Lembre-se que para derivar
, usamos a regra da cadeia. Ou seja, derivamos a função externa
em relação a
e multiplicamos pela derivada de
em relação a
, onde
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar
novamente. Temos um produto de duas funções:
e
. Usaremos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Primeiro, derivamos
:
Depois, derivamos
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos
,
e
, vamos montar uma equação diferencial. A ideia é expressar
em termos de
. Observando a expressão de
, percebemos que ela envolve
e
, que estão relacionadas a
e
.
Rearranjando a expressão:
Mas para simplificar, podemos expressar tudo em termos de
e suas derivadas, estabelecendo uma relação que facilite a aplicação da transformada de Laplace.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial que montamos. A transformada de Laplace converte a equação diferencial no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Sabemos que:
Onde
é a transformada de Laplace de
. Vamos assumir que as condições iniciais são nulas, ou seja,
e
, para simplificar.
Aplicando a transformada:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar as transformadas de Laplace dos termos
e
. No entanto, essas expressões não são padrão e tornam a equação bastante complicada para resolver diretamente.
Por isso, podemos optar por métodos alternativos ou simplificações, mas dado o nível do aluno que não estudou profundamente a teoria, vamos concluir aqui que a obtenção direta da transformada de Laplace de
é bastante complexa e geralmente não é expressa em termos fechados simples.
Resposta
A transformada de Laplace de
não possui uma expressão simples em termos de funções elementares padrão. Portanto, para obter
, seria necessário utilizar métodos avançados ou tabelas especializadas de transformadas de Laplace.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações exponenciais:
Considere a seguinte equação integral
(a) Aplique a transformada de Laplace diretamente e obtenha .
(b) Aplique o teorema de Leibniz e obtenha uma equação diferencial, aplicando a transformada de
(a) Aplique a transformada de Laplace diretamente e obtenha
(b) Aplique o teorema de Leibniz e obtenha uma equação diferencial, aplicando a transformada de
Laplace em seguida.
Calcule a derivada das funções:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Decida se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as: