Calcule a derivada das funções nos pontos indicados através do limite:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada pelo limite, que faz parte do estudo de Cálculo Diferencial. Vamos precisar aplicar a definição de derivada usando limites para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada pelo limite. A derivada de uma função
em relação a
no ponto
é dada por:
Essa fórmula nos diz que a derivada é o limite da variação da função quando
(um pequeno incremento em
) tende a zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Substituindo
por
na função original:
Vamos expandir o termo
:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos calcular a diferença
:
Simplificando os termos:
Passo 5
Dividimos essa diferença por
:
Passo 6
Finalmente, tiramos o limite quando
tende a zero:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Usando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
.
Usando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
.
Uma partícula move-se sobre uma reta de tal forma que, após
horas, ela está a
quilômetros de sua posição inicial. Ache a velocidade dessa partícula em
.
A curva
passa pelo ponto
, tangenciando a reta
na origem. Encontre
e
.