Calcule a derivada das funções nos pontos indicados através do limite:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada pelo limite, que faz parte do estudo de Cálculo Diferencial. Vamos precisar aplicar a definição de derivada usando limites para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada pelo limite. A derivada de uma função em relação a no ponto é dada por:
Essa fórmula nos diz que a derivada é o limite da variação da função quando (um pequeno incremento em ) tende a zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular . Substituindo por na função original:
Vamos expandir o termo :
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença :
Simplificando os termos:

Passo 5

Dividimos essa diferença por :

Passo 6

Finalmente, tiramos o limite quando tende a zero:

Resposta

A derivada da função no ponto é:

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