Usando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição de derivada para achar a equação da reta tangente à curva no ponto . Isso está ligado ao conteúdo de derivadas, que é uma parte fundamental do Cálculo. Para resolver, a gente vai precisar entender e aplicar a definição de derivada para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto específico nos dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Usando a definição de derivada, ela é calculada como o limite:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Queremos encontrar a derivada e depois avaliar em :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Aqui, o cancela:
Agora, tirando o limite quando tende a 0:

Passo 5

Agora que temos a derivada, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Com a inclinação e sabendo que a reta passa pelo ponto , usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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Usando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado: .
Calcule a derivada das funções nos pontos indicados através do limite:
Uma partícula move-se sobre uma reta de tal forma que, após horas, ela está a quilômetros de sua posição inicial. Ache a velocidade dessa partícula em .