A curva passa pelo ponto , tangenciando a reta na origem. Encontre e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma parábola dada pela equação . Sabemos que essa parábola passa pelo ponto e que ela é tangente à reta na origem .
Para resolver isso, precisamos encontrar os valores de , e . Vamos usar informações sobre pontos que a parábola passa e sobre a condição de tangência com a reta.
Passo 2
Como a parábola passa pelo ponto , podemos substituir esses valores na equação da parábola:
Essa é a nossa primeira equação.
Passo 3
Sabemos que a parábola é tangente à reta na origem . Isso significa que além de passar por , a derivada da parábola nesse ponto deve ser igual à inclinação da reta.
Primeiro, substituímos na equação da parábola:
Portanto, .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada da parábola para obter a inclinação em . A derivada de em relação a é:
Na origem, , então a inclinação é:
Como a reta tem inclinação , temos que .
Passo 5
Agora que sabemos que e , podemos substituir esses valores na primeira equação que obtivemos: