A curva passa pelo ponto , tangenciando a reta na origem. Encontre e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma parábola dada pela equação . Sabemos que essa parábola passa pelo ponto e que ela é tangente à reta na origem .
Para resolver isso, precisamos encontrar os valores de , e . Vamos usar informações sobre pontos que a parábola passa e sobre a condição de tangência com a reta.

Passo 2

Como a parábola passa pelo ponto , podemos substituir esses valores na equação da parábola:
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 3

Sabemos que a parábola é tangente à reta na origem . Isso significa que além de passar por , a derivada da parábola nesse ponto deve ser igual à inclinação da reta.
Primeiro, substituímos na equação da parábola:
Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da parábola para obter a inclinação em . A derivada de em relação a é:
Na origem, , então a inclinação é:
Como a reta tem inclinação , temos que .

Passo 5

Agora que sabemos que e , podemos substituir esses valores na primeira equação que obtivemos:

Resposta

Os valores são , e .

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Uma partícula move-se sobre uma reta de tal forma que, após horas, ela está a quilômetros de sua posição inicial. Ache a velocidade dessa partícula em .
Calcule a derivada das funções nos pontos indicados através do limite:
Suponha que uma função seja diferenciável em e que . Ache e .
Calcule a derivada das funções nos pontos indicados através do limite: