Uma partícula move-se sobre uma reta de tal forma que, após
horas, ela está a
quilômetros de sua posição inicial. Ache a velocidade dessa partícula em
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: a gente tem uma partícula que se move numa linha reta, e a posição dela depois de
horas é dada por
quilômetros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a velocidade dessa partícula quando
hora. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo, especialmente sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, se
, a velocidade
será:
Ou seja, vamos derivar a função
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo de
:
- A derivada de
em relação a é (porque usamos a regra do poder: multiplicamos o coeficiente pelo expoente e diminuímos o expoente em 1). - A derivada de
em relação a é (já que a derivada de é sempre 1).
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade
, vamos substituir
hora para encontrar a velocidade nesse momento específico:
Resposta
A velocidade da partícula em
hora é de 7 km/h.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das funções nos pontos indicados através do limite:
Usando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
.
A curva
passa pelo ponto
, tangenciando a reta
na origem. Encontre
e
.
Suponha que uma função seja diferenciável em
e que
. Ache
e
.