Calcule a derivada das funções nos pontos indicados através do limite:

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a função e precisa calcular a sua derivada no ponto onde . Vamos usar o conceito de derivada pelo limite, que é uma maneira de descobrir a inclinação da função em um ponto específico. Para isso, vamos precisar entender e aplicar a fórmula do limite para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função no ponto é definida pelo limite:
Esse limite nos dá a inclinação da reta tangente à função no ponto .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, onde e queremos a derivada em , temos:
Simplificando os termos dentro das raízes:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de é . Isso ajuda a eliminar a raiz no numerador:
No numerador, usando a identidade :

Passo 5

Agora, podemos simplificar os que estão no numerador e denominador:

Passo 6

Finalmente, substituímos por 0 no limite:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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