Calcule a derivada das funções nos pontos indicados através do limite:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a função
e precisa calcular a sua derivada no ponto onde
. Vamos usar o conceito de derivada pelo limite, que é uma maneira de descobrir a inclinação da função em um ponto específico. Para isso, vamos precisar entender e aplicar a fórmula do limite para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função
no ponto
é definida pelo limite:
Esse limite nos dá a inclinação da reta tangente à função no ponto
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, onde
e queremos a derivada em
, temos:
Simplificando os termos dentro das raízes:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de
é
. Isso ajuda a eliminar a raiz no numerador:
No numerador, usando a identidade
:
Passo 5
Agora, podemos simplificar os
que estão no numerador e denominador:
Passo 6
Finalmente, substituímos
por 0 no limite:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Suponha que uma função seja diferenciável em
e que
. Ache
e
.
A curva
passa pelo ponto
, tangenciando a reta
na origem. Encontre
e
.
Uma indústria produz tubos de metal de diâmetro fixo, e o custo da produção de
metros desse tubo é
. Em termos práticos, o que significa dizer que
?
Encontre a inclinação da reta tangente à curva
no ponto onde
.