Suponha que uma função seja diferenciável em e que . Ache e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função que é diferenciável em e sabe que:
Precisamos descobrir dois valores: e a derivada da função em , que é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Olha só, no limite dado, temos . Se a função for diferenciável em , ela também é contínua nesse ponto. Isso significa que quando se aproxima de 0, se aproxima de .
Vamos reescrever o limite:
Se se aproxima de quando vai para 0, então temos:
Mas, para esse limite ser finito (igual a 5), precisa ser igual a 0. Se fosse outro valor diferente de zero, o denominador indo para zero faria o limite ir para infinito.
Então, descobrimos que:

Passo 3

Agora, vamos descobrir a derivada . A derivada de uma função em um ponto é definida como:
Já sabemos que , então substituindo na fórmula:
E, pelo enunciado, esse limite é igual a 5. Portanto:

Resposta

e .

Exercícios relacionados

A curva passa pelo ponto , tangenciando a reta na origem. Encontre e .
Uma partícula move-se sobre uma reta de tal forma que, após horas, ela está a quilômetros de sua posição inicial. Ache a velocidade dessa partícula em .
Calcule a derivada das funções nos pontos indicados através do limite:
Uma indústria produz tubos de metal de diâmetro fixo, e o custo da produção de metros desse tubo é . Em termos práticos, o que significa dizer que ?