Suponha que uma função seja diferenciável em
e que
. Ache
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função que é diferenciável em
e sabe que:
Precisamos descobrir dois valores:
e a derivada da função em
, que é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Olha só, no limite dado, temos
. Se a função for diferenciável em
, ela também é contínua nesse ponto. Isso significa que quando
se aproxima de 0,
se aproxima de
.
Vamos reescrever o limite:
Se
se aproxima de
quando
vai para 0, então temos:
Mas, para esse limite ser finito (igual a 5),
precisa ser igual a 0. Se fosse outro valor diferente de zero, o denominador
indo para zero faria o limite ir para infinito.
Então, descobrimos que:
Passo 3
Agora, vamos descobrir a derivada
. A derivada de uma função em um ponto é definida como:
Já sabemos que
, então substituindo na fórmula:
E, pelo enunciado, esse limite é igual a 5. Portanto:
Resposta
Exercícios relacionados
A curva
passa pelo ponto
, tangenciando a reta
na origem. Encontre
e
.
Uma partícula move-se sobre uma reta de tal forma que, após
horas, ela está a
quilômetros de sua posição inicial. Ache a velocidade dessa partícula em
.
Calcule a derivada das funções nos pontos indicados através do limite:
Uma indústria produz tubos de metal de diâmetro fixo, e o custo da produção de
metros desse tubo é
. Em termos práticos, o que significa dizer que
?