Suponha que uma função seja diferenciável em x=1 e que lim h 0 f(1+h)h=5. Ache f(1) e f^prime(1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função que é diferenciável em limh to 0 f(1+h)h = 5 e sabe que:
Precisamos descobrir dois valores: e a derivada da função em , que é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar limh to 0 f(1+h)h = 5 . Olha só, no limite dado, temos limh to 0 f(1)h = 5 . Se a função for diferenciável em f(1) = 0 , ela também é contínua nesse ponto. Isso significa que quando se aproxima de 0, se aproxima de .
Vamos reescrever o limite:
Se se aproxima de quando vai para 0, então temos:
Mas, para esse limite ser finito (igual a 5), precisa ser igual a 0. Se fosse outro valor diferente de zero, o denominador indo para zero faria o limite ir para infinito.
Então, descobrimos que:

Passo 3

Agora, vamos descobrir a derivada f'(1) = limh to 0 f(1+h) - f(1)h . A derivada de uma função em um ponto é definida como:
f'(1) = limh to 0 f(1+h)h
Já sabemos que f'(1) = 5 , então substituindo na fórmula:
E, pelo enunciado, esse limite é igual a 5. Portanto:

Resposta

e .

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