Calcule a derivada das funções a seguir:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a derivada da função
. Isso envolve entender como derivar funções compostas, usando a regra da cadeia. Vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função composta. Temos uma função externa
, onde
. Para derivar
em relação a
, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando uma função está dentro de outra função.
Passo 3
A regra da cadeia diz que a derivada de
em relação a
é a derivada de
em relação a
multiplicada pela derivada de
em relação a
. Em notação matemática:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Aqui, usamos a regra da derivada da função exponencial, onde a derivada de
é
.
Passo 5
Agora, juntando as duas partes usando a regra da cadeia:
Substituindo
de volta na expressão:
Resposta
A derivada da função
é:
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, utilizando
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