Calcule a derivada das funções a seguir:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve entender como derivar funções compostas, usando a regra da cadeia. Vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função composta. Temos uma função externa , onde . Para derivar em relação a , vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando uma função está dentro de outra função.

Passo 3

A regra da cadeia diz que a derivada de em relação a é a derivada de em relação a multiplicada pela derivada de em relação a . Em notação matemática:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:
Aqui, usamos a regra da derivada da função exponencial, onde a derivada de é .

Passo 5

Agora, juntando as duas partes usando a regra da cadeia:
Substituindo de volta na expressão:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
Mostre que , utilizando
(b) O Teorema do Confronto (1)
Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.
Calcule o polinômio de Taylor, em uma vizinhança de , das seguintes funções: