Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é para verificar se essa função é contínua no ponto (0,0). Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e limites.

Passo 2

Para verificar a continuidade no ponto (0,0), precisamos verificar se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Se isso for verdadeiro, a função é contínua no ponto; caso contrário, não é.

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando tende a . Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde:
Aqui, representa a distância do ponto até a origem, e o ângulo.

Passo 4

Substituindo e na expressão de :
Simplificando, obtemos:

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de quando :
Portanto, o limite da função quando se aproxima de é 0.

Passo 6

Comparando com o valor da função no ponto (0,0):
Vemos que:

Resposta

A função não é contínua no ponto porque o limite quando se aproxima de é 0, diferente do valor da função nesse ponto, que é 1.

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Calcule a derivada das funções a seguir:
;
Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
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