Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.
b(x, y) = { (x * y) / raiz(x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 1, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é para verificar se essa função é contínua no ponto (0,0). Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e limites.

Passo 2

Para verificar a continuidade no ponto (0,0), precisamos verificar se o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Se isso for verdadeiro, a função é contínua no ponto; caso contrário, não é.

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando (x, y) tende a (0,0). Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde:
Aqui, r representa a distância do ponto (x, y) até a origem, e theta o ângulo.

Passo 4

Substituindo x e y na expressão de :
Simplificando, obtemos:

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de quando :
Portanto, o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) é 0.

Passo 6

Comparando com o valor da função no ponto (0,0):
Vemos que:

Resposta

A função não é contínua no ponto (0,0) porque o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0) é 0, diferente do valor da função nesse ponto, que é 1.

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