Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é para verificar se essa função é contínua no ponto (0,0). Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e limites.
Passo 2
Para verificar a continuidade no ponto (0,0), precisamos verificar se o limite da função
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Se isso for verdadeiro, a função é contínua no ponto; caso contrário, não é.
Passo 3
Vamos calcular o limite da função
quando
tende a
. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde:
Aqui,
representa a distância do ponto
até a origem, e
o ângulo.
Passo 4
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando, obtemos:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de
quando
:
Portanto, o limite da função quando
se aproxima de
é 0.
Passo 6
Comparando com o valor da função no ponto (0,0):
Vemos que:
Resposta
A função
não é contínua no ponto
porque o limite quando
se aproxima de
é 0, diferente do valor da função nesse ponto, que é 1.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das funções a seguir:
;
Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
Calcule o polinômio de Taylor, em uma vizinhança de
, das seguintes funções:
Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.