Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o limite da expressão
quando o ponto
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre limites em funções de duas variáveis.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento da função
conforme
se aproxima de
. Observe que tanto
quanto
são sempre positivos ou zero. Portanto, o denominador
nunca será negativo.
Passo 3
À medida que
se aproxima de
, o denominador
tende a 0. Quando dividimos um número positivo fixo, como 3, por um valor que está se aproximando de 0, o resultado da expressão tende a aumentar sem limites, ou seja, tende ao infinito.
Passo 4
Para confirmar, podemos pensar em caminhos específicos pelos quais
se aproxima de
. Por exemplo, se fixarmos
, a expressão se torna
, que claramente tende ao infinito quando
se aproxima de 0. O mesmo acontece se fixarmos
ou seguirmos qualquer outro caminho.
Resposta
O limite não existe, pois a expressão tende ao infinito quando
se aproxima de
.
Exercícios relacionados
Mostre que
, utilizando
(b) O Teorema do Confronto (1)
(b) O Teorema do Confronto (1)
Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.
Calcule a derivada das funções a seguir:
;
Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto ( 0,0 ). Justifique.